戴震评传-第38章
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有误），实际上是定义定理构成，外加原理部分的说明，穷尽了三角学的全部定义和定理，仅表达方式上是勾股中法，这在传统数学史上是了不起的创举，它使中法数学不重视原理推证进到了以中法论证中法表达的原理的新阶段，这一进步与戴震熟谙西学有极大关系，要不是西学以其简明，以符号表达的长处取代我国传统数学，中法数学原理的推证还会继续发展下去。事实上，戴震数学的后继者如凌廷堪、焦循、李锐、汪莱都是由中学重视“算法”进而推进到重视“算理”的，但这些推进更多地采取了西学的表达形式。
值得一提的是，戴震在西学东渐的时代弘扬中算，还别有其苦衷的。明清之际的天算家在接受西学的同时，普遍都产生了另一种失落感，他们急于寻找一种其学相似或对应的中学内容，但“古法不彰久矣？？其时书籍未见，文献无征，所谓挽回绝诣者，则纯是臆测耳！”①戴震弘扬中算，会通中西，正是当时科学家心态的某种失落感的普遍反映。但事物发展又是不平衡的，关于用中法研究数理精蕴（如前所说，戴震研治数学也是在熟谙西法，融贯中西的基础上进行的），用中算语言表达数理和计算方法，又曾引起一些人的不满，如凌廷堪（江藩说他“声音训诂，九章八线，皆达其极而抉其奥”）重视西算表达，敌对戴震改西洋名为难懂的古名不以为然。他在嘉庆元年（1796）曾说：“戴氏《勾股割圆记》，惟斜弧两边夹一角，及三边夹角用矢较，不用余弦，为补梅氏所未及。其余皆梅氏成法，亦即西洋成法，但易① 《勾股割圆记》下，载《安徽丛书》六期《戴东原先生全集》。
① 阮元《畴人传·李锐》。商务印书馆国学基本丛书版下册664 页。
以新名耳。如上篇即平三角举要也，中篇即堑堵测量也，下篇即环中黍尺也。其所易新名，如角曰‘觚’，边曰‘矩’，切曰‘外矩’，弦曰‘内矩’，分割曰‘径引数’，同式形之比例曰‘同限互权’皆不足异。”实际上，戴氏的贡献远不止凌氏所说及的，在数学的天文应用，直角三角形和圆的关系、工程测量等都有贡献（见本章三）。又戴震的中算术语，矩分指正切，内矩分指正弦，次矩分指余切，次内矩分指余弦，经引数指正割，次引数指余割，等等。远比凌氏举证全面系统，凡西学三角学名称皆有中学对应。但凌氏仍指出戴震的西学底蕴，还是有识力的。凌氏又说：“《记》中所立新名，惧读之者不解，乃托吴思孝以注之，如‘矩分今曰正切’云云。夫古有是言而云今曰某某，可也；今戴氏所立之名皆后于西法，是西法古而戴氏今矣，而反以西法为今，何也？凡此皆窃所未喻者。”①凌氏“所未喻”的就在于戴震执意要弘扬中算，中华大地上产生的科学远胜西方，乃至“西学东源”。科学是没有国界的，戴震可以不要这样做，但他的中华赤子之心是可以理解的。戴震以后，清代中叶的数学获得大发展不能不说与戴震奠基作用及其数学为经学服务的思想有关。戴震的哲学传人阮元曾评述其数学传人焦循的数学成就说：“里堂之说算，不屑屑举夫数，而数之精意无不包，简而不遗，典而有则，所谓抉以文义，润以道术者非耶？”①“数之精意无不包”，这正是戴震的数学精神。
戴震的勾股原理及五十一术在数学史上是个了不起的贡献。一般认为，勾股弦及其和差互求问题总计有三十六种之多，三国的赵爽著《勾股圆方图注》，解出了二十四种，被认为是了不起的贡献，戴震的勾股原理及五十一术可谓取得了突破性进展，在数学史上是应大书一笔的。
作为自然科学的研究，戴震的《勾股割圆记》较之三角学更富有辩证色彩。恩格斯曾盛赞三角学有辩证法精神，恩格斯这一论断的思路是从发掘三角学和圆的联系而得出结论的。戴震的《割圆记》处处保持着勾股和圆面的紧密联系，处处从三角形和圆的对待关系中寻找数学原理，因而更富有辩证法。恩格斯说：“在综合几何学只从三角形本身详述了三角形的性质并且再没有什么新东西可说之后，一个更广阔的天地被一个非常简单的，彻底辩证的方法开拓出来了。三角形不再被孤立地只从它本身来考察，而是和另一种图形，和圆形联系起来考察。每一个直角三角形都可以看作一个圆的附属物：如果斜边=r，则夹直角的两边分别为正弦和余弦；如果这两边中的一边=r，则另一边=正切，而斜边=正割。这样一来，边和角便得到了完全不同的，特定的相互关系，如果不把三角形和圆这样联系起来，这些关系是决不可能发现和利用的。于是一种崭新的三角论发展起来了，它远远地超过旧的三角理论而且到处可以应用，因为任何一个三角形都可以分成两个直角三角形。三角学从综合几何学中发展出来。这对辩证法来说是一个很好的例证，说明辩证法怎样从事物的相互联系中理解事物，而不是弧立地理解事物。”①如果说，恩格斯盛赞的三角学因和圆的天然联系而充满辩证法是辩证法的体现和完① 见焦循《释轮》一书中《附凌廷堪书》。对《勾股割圆记》的不满，焦循《释弧》自序（1798）云：“戴书务为简奥，变为旧名，恒不易了。”李善兰《则古昔斋算学》刘世仲序（1864）云：“勿庵（按：悔文鼎）之书唯恐人不解；东原之书，唯恐人能解。公私之判，遐哉邈矣。”① 阮元《里堂学算记·总叙》。见焦循《焦氏丛书》光绪本《里堂学算记》。① 恩格斯《自然辩证法》人民出版社1971 年版243 页。
成，那么，戴震《勾股割圆记》以圆为本，研究平三角形，球面直角、球面斜三角形勾股法与圆的直接联系，还正处在辩证法的使用过程，它较之高度抽象化了的三角函数有更丰富、更直接、更完备的辩证法思想。这些辩证法主要体现在：平三角、球直角、球斜三角始终都保持和圆面的直接对待联系。勾股是割圆的代名词，勾股割圆实际上就是三角形割圆，直线割圆，三角形边、角各要素始终处在与圆面的对待联系中。《割圆记》全书中类的归纳，相同相异的要素以勾股弦为纲作出的子系统归纳，和圆面、和勾股法总论保持紧密联系，每个问题的解答都不能须臾离圆，圆与问题和答案同在。勾股理论系统和勾股子系统间以圆面为基础形成其内在联系，勾股弦本身的美的特质及其自身各要素间的对待关联，如此等等，都是勾股割圆尚处于辩证过程的证据。
戴震是作为一名哲学家从事自然科学研究的，因而比同时代的单纯从事自然科学研究的学者具有更多的辩证法观点，这就毫不奇怪了。中国古代有的丰富辩证法思想资料。毛泽东说：“辩证法的宇宙观，不论在中国，在欧洲，在古代就产生了。”②戴震熟谙古代典籍，以辞通道，就包括通那些不自觉、半自觉、自觉的古代辩证法之道。辩证法就是在普遍联系中观察对象。打开《割圆记》，对任何一个命题或定理的叙述，无不在边与边，边与角、角与角、边、角与三角形整体，边、角、三角形整体与圆面的联系中加以叙述和考察，与同命题的三角函数相比，因函数表达省略了一些中介环节，有关联系的叙述已被略去，而勾股法犹西学函数法的每一步溯源和步步来龙去脉的叙述，这种溯源和叙述在其自身的体系中，仍然是简洁、严谨的，但和函数法相比，这种叙述方法展示了各个环节间的无遗漏的联系。这种做法在思想方法上，在具体步骤的处理上，都在其指导思想上拥有更多的辩证思考过程和辩证法的应用过程，当然这里说的辩证思考和辩证法的应用，是以数学的原理作逻辑思维活动，而这种数学原理及运用此原理的思维过程本身带有辩证的性质，并非辩证法在数学研究中的机械搬用，而烙守数学原理本身的性质，并运用这类原理形成自身的数学系统，这本身就是台乎辩证法的做法，《割圆记》数学系统的形成，并不缺乏这种精神。
② 毛泽东《矛盾论》。
第六章戴震的史地学一、参修《汾州府志》和《汾阳县志》
自从清初顾炎武力倡“理学即经学”，学风开始大变，连史学、地学研究也崇尚考据。阎若璩著《古文尚书疏证》、《四书释地》等，都用考据，《四库全书总目提要》评阎的《古文尚书疏证》是“有据之言，先立于不可败也”。胡渭和阎若璩曾同在清一统志局修史，胡的《禹贡锥指》用考古的方法研究地理，广泛搜集实证，专就某一问题作窄而深的研究，形成了专门研究历史地理，即研究古今地理沿革的学问。戴震的史地学说，一仍顾、阎、胡，他校注《水经注》，正是视《水经注》为历史地理之作，考释精博，完全凭文献和实证梳释原著，他参修地方志，自有其独到的见解。地方志，梁启超曾认为是最古的历史书，如《孟子》所称“晋乘楚梼杌鲁春秋”，《墨子》所称“周之春秋宋之春秋燕之春秋”，《庄子》所称“百二十国宝书”①。清康熙十一年（1672）曾下诏各郡县分辑志书，雍正七年（1729）因修大清一统志又严谕如期成书，这都促进了地方志的修撰。著名学者也都有独撰或参修地方志的②。在这一风尚影响下，戴震主修了《汾州府志》和《汾阳县志》。那是乾隆三十四年（1769）的事情。这一年夏天，戴震与朱筠的弟弟朱珪友善。朱珪当时为山西布政使，戴震和段玉裁曾一同应招前往，段玉裁主讲寿阳书院，戴震为朱硅署中幕僚。这一年，也正是戴震第三次考进士不第，但他似乎并不介意。修汾州志，困难极大，虽然明万历年间修过，但多半散失不能用。乾隆年间，汾州府太守孙越薪（和相）刚由滇南调任至此，便有感于距明万历年间的汾州知府王道一纂修府志已历一百六十多年，一直无赓续重修者，便招集一批人重修，但汾州的历史沿革极为复杂，所辖地区前后往往不一，这样连修史的对象的基本范围也发生了问题，纂修汾州府志，真是谈何容易！以汾州的地名而言，其分野始自禹贡，属冀州，后来因沿革不一，或称西河，或称南朔，或称介州，或称汾阳。就其辖境而言，西魏之汾州在乾隆年间的宜川（今陕西山西交界处），北周的汾州在吉州（今山西吉县），隋代的汾州在霍州（今山西霍县）。北魏时霍州曾为西河郡治，而西河郡是汉代元朔四年（公元前119年）设置的，本在河西，永和五年（140 年）南徙五百余里，治所在离石。如果依河表目，则文献中同一地名又不实指一地，以属县中都为例，《左传·昭公二年》的中都在乾隆时的河内（今河南沁阳），《魏书》的中都在榆次。以永安县为例，汉晋的永安在霍州，北魏孝昌（525—527）的永安和介休，都曾侨置平阳（今临汾），而介休又曾侨置汲郡（今河南东北部）。以汾阳县为例，《国语》中的汾阳在平阳，汉代的汾阳在静乐，晋代的汾阳在河东郡（今山西永济一带），隋代的汾阳到唐武德七年（624）改为阳曲，此后郡县无汾阳之名。唐代郭子仪封为汾阳郡王，镇守的是绛州。以地名山泽而言，① 《中国近三百年学术史》，中国书店1985 年影印本298 页。
② 例如顾炎武参修�
